第 3 節 一階電路的零輸入響應

零輸入響應：電路無外加激勵，僅由動態元件的初始儲能作用所產生的響應，稱為零輸入響應（ zero-input response ）。

一、 RC 電路的零輸入響應

 

圖 5.3-1 （ a ）電路， t=0 時開關 S 由位置 1 撥到位置 2 ，討論換路后 時的電容電壓 、電容電流 等響應的變化規律。

電路換路之前開關 S 處于位置 1 ，直流電壓源 Us 對電容 C 充電，電路已處于穩定狀態，換路前的等效電路如圖 5.3-1 （ b ）所示。 時刻，電容電壓等于直流電壓源的電壓 Us ，即

時刻，電容與電壓源斷開，與電阻 R 形成新的回路，這時的等效電路如圖 5.3-1 （ c ）所示。

 

由換路定則得換路后電容電壓的初始值

電容電流的初始值為

圖 5.3-1 （ c ）電路，由 KVL ，可得

用積分變量分離法進行求解，得

式中，

為 RC 電路的時間常數（ time constant ），當 R 的單位為Ω， C 的單位為 F 時，τ的單位是秒（ s ）。
 

時間常數：時間常數是反映一階電路過渡過程進展快慢的一個重要的參數，其大小僅取決于電路的結構和參數。τ越大，響應衰減的速度就越慢；τ越小，響應衰減的速度就越快。

用 表示電路換路后的響應，用 表示該響應的初始值，則 RC 一階電路的零輸入響應可表示為

RC 電路零輸入響應的規律

RC 電路換路后，各處的零輸入響應都是從初始值開始，按指數規律衰減。衰減得快慢由時間常數τ決定。

二、 RL 電路的零輸入響應

 

圖 5.3-3 （ a ）是 RL 動態電路。電路換路之前開關 S 處于位置 1 ， t=0 時開關 S 由位置 1 撥到位置 2 。下面討論換路后 時的電感電流 、電感電壓 等響應的變化規律。

時刻，電路換路之前開關 S 處于位置 1 ，直流電流源 Is 對電感 L 充電，電路已處于穩定狀態，換路前的等效電路如圖 5.3-3 （ b ）所示。

t=0 時，開關 S 撥到位置 2 ， 時，電感與電流源斷開，而與電阻 R 形成新的回路，這時的等效電路如圖 5.3-3 （ c ）所示。

由換路定則得換路后電感電流的初始值為

電感電壓的初始值為

對于圖 5.3-3 （ c ）電路，由 KVL 可得

采用積分變量分離法進行求解，得

式中，稱為 RL 電路的時間常數，當 R 的單位為Ω， L 的單位為 H 時，τ的單位為秒（ s ）。

總 結

電容、電感動態元件在電路中充電和放電的過程，實際上是動態元件與電路的能量交換過程，動態元件本身并不耗能。

圖 5.3-1 電路中，電路換路之前電容處于充電狀態，電容從電壓源吸收能量并儲存起來，電路換路之后，電容又開始放電，釋放的能量被電阻 R 所消耗，零輸入響應就是一個放電的過程。

三、一階電路零輸入響應的計算
 

計算步驟

1 、畫出 時刻的等效電路。這時電路已達到穩態，在直流激勵作用時，將電容當作開路，將電感當作短路，求出 或 ，并根據換路定則，求得電路的初始狀態。若需要計算電路中其它響應，再根據初始狀態計算這些響應的初始值。

2 、求電路的時間常數τ。對于 RC 電路， ，對于 RL 電路， 。其中， R 為從電容 C 或電感 L 兩端看進去的戴維南等效電阻。

3 、求出零輸入響應

例 5.3-1 圖 5.3-5 （ a ）所示電路中，開關原來處于位置 1 ，且電路已處于穩態， t=0 時刻開關 S 撥到位置 2 ，求 時的 ， 和 。

 

解： 1. 求初始值 ， 和

作出電路換路前 時刻的等效電路，如圖 5.3-5 （ b ）所示，這時電路處于穩態，電容相當于開路，并由換路定則得

時刻的等效電路如圖 5.3-5 （ c ）所示，兩個 100 K Ω的電阻并聯，所以

 

2 ．求時間常數τ

圖 5.3-5 （ c ）電路中無外加激勵，只有電容的初始電壓通過兩個電阻放電，因此，產生的響應為零輸入響應。這時，從電容兩端看進去的戴維南等效電阻是兩個 100 K Ω的電阻并聯，所以R=100K ∥ 100K=50K Ω

則時間常數為

3 ．電路換路后 時的響應為