薩伐爾定律_畢奧-薩伐爾定律及畢奧-薩伐爾定律應(yīng)用舉例

一、畢奧-薩伐爾定律

1.畢奧-薩伐爾定律:載流導(dǎo)線產(chǎn)生磁場(chǎng)的基本規(guī)律。微分形式為：

整個(gè)閉合回路產(chǎn)生的磁場(chǎng)是各電流元所產(chǎn)生的元磁場(chǎng)dB的疊加。

磁感應(yīng)線的方向服從右手定則，如圖。

二、畢奧-薩伐爾定律應(yīng)用舉例

兩種基本電流周?chē)拇鸥袘?yīng)強(qiáng)度的分布：載流直導(dǎo)線；圓電流。

例1.載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)

解：建立如圖坐標(biāo)系，在載流直導(dǎo)線上，任取一電流元Idz，由畢-薩定律得元電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為：

方向?yàn)榇怪边M(jìn)入紙面。所有電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相同，所以求總磁感強(qiáng)度的積分為標(biāo)量積分，即：

（1）由圖得：

,即：

此外：

，代入（1）可得：
　　　　　　

討論：（1）無(wú)限長(zhǎng)直通電導(dǎo)線的磁場(chǎng)：

　　　（2）半無(wú)限長(zhǎng)直通電導(dǎo)線的磁場(chǎng)：

　　　（3）其他例子

例2:圓形載流導(dǎo)線軸線上的磁場(chǎng)：設(shè)在真空中，有一半徑為 R ，通電流為 I 的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，求其軸線上距圓心 O 為 x 處的P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。
解：建立坐標(biāo)系如圖，

任取電流元，由畢-薩定律得：

，方向如圖：

，所有dB形成錐面。
將dB進(jìn)行正交分解：

，則由由對(duì)稱(chēng)性分析得：

，
所以有:

，因?yàn)椋?IMG align=absMiddle src="/jichu/UploadFiles_6678/201807/20180725222206524.jpg" width=71 height=43> ,r=常量，
所以：

，又因?yàn)椋?IMG align=absMiddle src="/jichu/UploadFiles_6678/201807/20180725222206710.jpg" width=165 height=29>
所以：

，方向：沿x軸正方向，與電流成右螺旋關(guān)系。
討論：（1）圓心處的磁場(chǎng)：x=0 ，

。
　　　（2）當(dāng) 即P點(diǎn)遠(yuǎn)離圓環(huán)電流時(shí)，P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

。
例3：設(shè)有一密繞直螺線管。半徑為 R ，通電流 I。總長(zhǎng)度L，總匝數(shù)N（單位長(zhǎng)度繞有n 匝線圈），試求管內(nèi)部軸線上一點(diǎn) P 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解：建立坐標(biāo)系，在距P 點(diǎn) x 處任意截取一小段 dx ，其線圈匝數(shù)為

: 電流為：

。其相當(dāng)于一個(gè)圓電流，它在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：
　　　　

。
因?yàn)槁菥€管各小段在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向均沿軸線向右，所以整個(gè)螺線管在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為：
　　　　

因?yàn)椋骸?IMG align=absMiddle src="/jichu/UploadFiles_6678/201807/20180725222206909.jpg" width=371 height=24>
代入上式得：

所以：　　　　

討論：
（1）管內(nèi)軸線上中點(diǎn)的磁場(chǎng):

（2）當(dāng) L>>R時(shí)，為無(wú)限長(zhǎng)螺線管。此時(shí),

，管內(nèi)磁場(chǎng)

。即無(wú)限長(zhǎng)螺線管軸線上及內(nèi)部為均勻磁場(chǎng)，方向與軸線平行滿足右手定則。
（3）半無(wú)限長(zhǎng)螺線管左端面（或右端面），此時(shí):

因此：

，即其端面中心軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為管內(nèi)的一半。

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