導讀：1.一維流動的質(zhì)量守恒；2.連續(xù)方程的一般形式；3.連續(xù)方程的分析與應用。

一維流動的質(zhì)量守恒

首先來看一下一維流動中的質(zhì)量守恒，質(zhì)量守恒決定了，在流動中任意流體微團的質(zhì)量都應該保持不變。數(shù)學表達式是這樣的： 其中質(zhì)量與密度和體積的乘積來表示。因為在流體力學中，通常用來表示速度，這里用B來表示體積。很顯然，這種表達式是拉格朗日方法，是針對一個流體微團的。 

現(xiàn)在來看看流體力學的歐拉法中的質(zhì)量守恒。在這樣一個一維流動中，取中間一段作為控制體流體，從左邊流入右邊流出。

 

根據(jù)質(zhì)量守恒可知，控制體內(nèi)質(zhì)量的增加等于流入的質(zhì)量減去流出的質(zhì)量 這就是質(zhì)量守恒在歐拉法中的表現(xiàn)形式。 當流動為定常時，控制體內(nèi)的質(zhì)量保持不變，于是可知，任意時刻流入控制體的質(zhì)量等于流出控制體的質(zhì)量： 

這里的m表示了單位時間流過的質(zhì)量，稱為流量。我們通過這樣一個圖來看看流量與流速的關系。 

 

對于定常流動單位時間流過進口和出口截面的質(zhì)量相等，質(zhì)量等于密度與體積的乘積。在直徑大和直徑小的地方，同樣體積的流體所占流向長度是不同的，這個流向長度與時間的比值就是當?shù)氐牧魉佟Ｓ谑俏覀兙偷贸隽肆髁康谋磉_式：通過橫截面的質(zhì)量流量等于密度、橫截面積和流速三者的乘積，而體積流量等于橫截面積和流速的乘積。 

質(zhì)量守恒在流體力學中體現(xiàn)為流量連續(xù)，所以稱為連續(xù)方程：  當流動為不可壓縮時，密度不變，連續(xù)方程可以表示為：   

連續(xù)方程的一般形式

現(xiàn)在來看看連續(xù)方程的一般形式。既三維復雜流動中的質(zhì)量守恒，在流場中取這樣一個任意的控制體，其表面稱為控制面:

 

根據(jù)質(zhì)量守恒，單位時間控制體內(nèi)質(zhì)量的減少，應該等于流出控制體的質(zhì)量。于是我們可以寫出連續(xù)方程的積分形式的表達式：

 

這種積分形式適用于做理論分析，如果要具體計算流場參數(shù)需要用到微分形式，所以我們現(xiàn)在來針對微小的控制體推導連續(xù)方程。取這樣一個六面體為控制體。

 

在六個面上流體可以流入和流出在左側(cè)面和下側(cè)面上進入的流量表達式為 而右側(cè)面和上側(cè)面上流量的表達式用相應的一階泰勒展開表示： 由于控制體體積不變，控制體內(nèi)單位時間質(zhì)量減少就體現(xiàn)為密度的減少： 而根據(jù)圖中所示，左右兩個側(cè)面上的流量之差是凈流出的質(zhì)量： 于是，我們可以得到所有六個面上的凈流出量： 質(zhì)量的減少等于凈流出量，于是就可以得出我們所需要的關系是： 體積項  可以消去，就得到連續(xù)方程的表達式： 這個表達式是分量形式的，可以簡化寫成矢量形式： 其中的  是拉普拉斯算子，而  稱為密流，即單位面積的流量。

連續(xù)方程的分析與應用

現(xiàn)在我們來分析一下連續(xù)方程在具體應用時的特點。首先，這個方程的第一項表示了控制體內(nèi)密度的變化，當流動為定常時，這一項應該為零。于是我們得到定常流動的連續(xù)方程，即密流的散度為零： 進一步可以得到一維定常流動的連續(xù)方程:當流動維不可壓時，得到一維定常不可壓流動的連續(xù)方程： 也就是說，一維定常不可壓流動中流速沿流向保持不變。可是這個推導是不是有問題呢？很顯然。對于因為收縮通道內(nèi)的流速沿流向是增加的。

 

這個推導是看不出問題的。其實，問題在于收縮通道的流動不是一維流動。在工程上把它當作一維流動處理，把另外兩位的速度變化用面積變化來表現(xiàn)了。

從連續(xù)方程還可以進行這樣的變換，把對密度和速度的微分展開成兩項： 可以看出。這個式前兩項是密度的隨體導數(shù)，而連續(xù)方程可以寫成這樣： 因為全導數(shù)表示的是流體微團密度的變化，所以這是拉格朗日法的連續(xù)方程。這種形式的聯(lián)系方程的物理意義也是很明確的，流體微團的質(zhì)量變化可以認為有密度和體積兩種因素，這個連續(xù)方程里面的第一項表示了密度的變化，第二項表示了體積的變化。由于流體微團質(zhì)量保持不變，所以密度增加，體積必然減小，反之亦然。

從拉格朗日法的連續(xù)方程還可以得出，不可壓縮流動的連續(xù)方程，就是速度的散度為零： 物理意義是流體微團的體積變化為零。

我們再來看一下，所謂因為收縮通道的流動，這次加上不可壓的條件來分析收縮通道中部一點處的速度變化情況。

 

在這一點的鄰域取一個微小的控制體，其上下左右各面的速度如圖所示。左右側(cè)面只有x方向的速度，右側(cè)面的速度比左側(cè)面大，上下表面速度的x分量相同，y分量大小相等方向相反。于是可知u沿x方向是增加的，而v沿y方向是減小的。

 

把二維不可壓連續(xù)方程寫出來： 可以看出和流場分析是一致的，這兩項的符號必然相反，而且大小應該相等。從這里我們可以看出x方向速度的增加，伴隨著y方向速度的減小，所以收縮流動至少是二維的，而不可能是一維的。

現(xiàn)在來看看壓縮性的影響，當流動為可壓縮時，連續(xù)方程中的密度會改變，低速流動中的密度的變化相對較小，因此收縮就加速在定性上總是正確的。當氣體以超音速流動時，密度的變化很大，比速度的變化量還要大，也就是說這時速度增加一倍，密度會減小的比一半還小，所以面積以速度的關系就反過來了。超音速氣流通過擴張通道時才會加速。

 

歷史上，瑞典工程師拉瓦爾在研究沖擊式渦輪的時候，采用收縮擴張的管道，成功讓氣流從亞音速加速到了超音速。于是，這種管道就被稱為拉瓦爾噴管。

 

再來看看不可壓和非定常的關系。這是不可壓連續(xù)方程： 在推到它時，并沒有假設定常流動。所以這個三維方程包括它的一維形式，對定常和非定常都成立的。

比如這個模型中，不可壓時，流體密度不變，所以容腔內(nèi)的流體質(zhì)量保持不變，于是可知那一瞬間進出口的流量相等，可以說，單看總流量的話不可壓縮流動只能是定常的。

 

接下來我們看一個流動的例子，假設有一輛行駛中的汽車缺了一塊玻璃，而其余各處密封都完好不漏氣。

 

分前窗側(cè)，窗和后窗三種情況來考慮。空氣是流進來還是流出去？從經(jīng)驗判斷，前窗缺玻璃時，氣體流入；后窗缺玻璃時氣體流出。是這樣嗎？汽車的運動速度不高，屬于不可壓縮流動，可以用不可壓縮連續(xù)方程來判斷這個問題。只有一個開口，無論開口朝什么方向，流體都應該是不進也不出。雖然這似乎和感覺不同，但這就是連續(xù)方程給出的結(jié)果。那為什么坐在窗子邊會有很大的風吹進來呢？這其實是流動的非定常性造成的，因為非定常性缺口有可能一半流出一半流入。

我們再來看一個河流的例子。假設這是一條沒有支流的河上游，坡度大，下游坡都想那么在圖中的A點和B點哪里流速快呢？這個很好判斷坡度大的地方流速快。那么哪里河道寬呢？

 

這個可以用連續(xù)方程來判斷流速小的地方需要的橫截面積大，一般河面會寬。所以在這個例子中，流體的橫截面積是由流體速度決定的。

對于封閉管道內(nèi)的流動橫截面積是由管道決定的。看來似乎面積的收縮是流體加速的原因了。

 

然而很顯然，流體遵從牛頓定律加速一定是受到了驅(qū)動力的作用。粗的地方壓力高，細的地方壓力低。流體微團流經(jīng)收縮通道時，是從壓力高的地方流向壓力低的地方，相當于微團背后的壓力大于前胸的壓力，被推著加速前進，這就是驅(qū)動力了。所以流體加速是壓力差的驅(qū)動造成的。