目錄

一、什么是連續性方程

二、流體能量守恒定律 

1、流體的動能 

2、流體勢能 

3、流體壓力能 

4、流體的熱能

三、什么是伯努利定理

四、水頭
五、伯努利定理的兩個應用 

1、用文丘里管測量流速 

2、用皮托管測量流速

一、什么是連續性方程

 

連續方程就是質量守恒定律。質量守恒定律認為，流經管道的流體在任意截面處質量流量恒定。它被稱為連續性方程，因為它在流體連續流動時成立。若流體的密度為ρ（kg/m ³），流速為u（m/s），截面積為A（m），則連續性方程如下。

ρuA =（常數）

質量流量的單位是（kg/s），即單位時間內通過的流體質量。

 

順便說一句，由于像水這樣的液體的體積幾乎不隨溫度或壓力而變化，因此體積守恒定律也適用。體積守恒定律不適用于氣體，因為體積會根據壓力發生很大變化。

二、流體能量守恒定律

 

伯努利定理是流體中的能量守恒定律，流體總計以下四種能量的總和保持不變：

①動能+②勢能+③壓力能+④熱能=（常數）

1、流體的動能

我們知道質量為 m (kg) 的球以速度 v (m/s) 飛行時的動能為mv ² /2。若流體的密度為ρ(kg/m ³ )，則單位體積的質量為ρ×1(kg)。因此，單位體積流體的動能表示為：

①流體動能=ρu ² / 2

2、流體勢能

如果重力加速度為g(m/s ² )，則高度為h(m)、質量為m(kg)的物體的勢能表示為mgh ，則每單位體積的流體的勢能如下：

②流體勢能=ρgh

3、流體壓力能

流體始終處于壓力之下，這種力的作用提供了移動流體的能量。壓力能越高，流量越大，壓力能越低，流量越低。舉一個具體的例子，水管使用調節器來改變供水壓力來調節水流。如果供水壓力增加，流出的水量就會增加；如果供水壓力減少，水流量就會變小。壓力為 p(Pa) 的流體的壓力能就是 p。

③流體的壓能=p

4、流體的熱能

流體在流動時會改變其溫度，并且流體的熱能也會發生變化。然而，對于低流速的流動，轉化為熱量的能量很小，可以忽略不計。隨著流速的增加，摩擦產生的熱量和沖擊波產生的熱量產生，增加了熱能的作用。摩擦是由流體的粘性引起的，但由于伯努利定理適用于非粘性流體，我們可以假設熱能不變。（理想流體）

三、什么是伯努利定理

 

伯努利定理由以下等式表示：

ρu ² /2 + ρgh + p =（常數）

正如我之前所說，伯努利定理假設熱能不變，認為是理想流體，也不考慮動能轉化為熱能。此外，盡管真實流體具有粘性并產生摩擦阻力和渦流，但使用伯努利定理時是假設沒有粘性。

伯努利定理的應用條件：（很多人忽視這個條件造成應用錯誤）

• 沒有密度變化（在流體為氣體適用于馬赫數(Ma)<0.3）

• 穩定流（狀態不隨時間變化的流）

• 沿流線流動

• 熱能沒有變化

• 無摩擦損失

• 無粘性損失

下面介紹一種具體的伯努利定理的使用方法，比如求兩點之間的壓力差，

ρu ₁ ² /2 + ρgh ₁ + p ₁ = ρu ₂ ² /2 + ρgh ₂ + p ₂

p1 _- p2 = (ρu ₂ ² /2+ ρgh2 ₎ – (ρu ₁ ² /2  ₊  ρgh ₁)

 

四、什么是壓頭

 

水頭是流體的能量，以水位高度 (m) 為單位表示，也成稱之為壓頭。動能用速度水頭 V表示，勢能用勢頭 H 表示，壓力能用壓力水頭 P表示，總和稱為總水頭 E，以下能量守恒定律從伯努利定理成立。

E = V + H + P

注意：即伯努利定理僅在沒有因粘性、熱或摩擦引起的損失時才適用，但如果將這些能量損失表示為損失水頭 L，以下守恒定律成立。

E = V + H + P + L

對于水頭損失 L，必須提前從過去的文獻和實驗中獲得產生的能量損失。

例如，Brazius 公式和Niclase 公式表達了流體粘度、流速和水頭損失之間的相關性，因此可以使用它們。

五、伯努利定理的兩個應用

 

下面是伯努利定理的兩個應用。

1、用文丘里管測量流速

文丘里管是一種流量測量儀器，它通過使流體流過截面積發生變化的管子并測量兩點之間的壓力來確定流量和流速。

從連續性方程看，流速隨著管道截面積的變化而變化。具體來說，管子粗的地方流速慢，管子細的地方流速快。因此，通過測量截面積不同的兩個位置的壓力，可以根據伯努利定理得出流速。

 

Q = u ₁ A ₁ = u ₂ A ₂　… ① 連續性方程

至于測量文丘里管內壓力的方法，是在截面積不同的兩個點上安裝一個 U 型管壓力表。密度為 ρ' 的流體置于 U 型管中，根據兩點之間的壓力差產生高度差，因此可以測量壓力差。

 

具體計算方法如下：首先，在文丘里管的橫截面積不同的點 1 和點 2 處應用伯努利定理。

由于流動是水平的，所以位置揚程H=0，隨著流速和壓力的變化，速度水頭V和壓力水頭P發生變化。

u ₁ ² /2g + p ₁ /ρg = u ₂ ² /2g + p ₂ /ρg 

・・・② 流管中的伯努利方程

接下來，將伯努利定理應用于 U 型管中的流體，由于流體是靜止的，當速度水頭為 V=0 且高度差為 h 時，下式成立。

p1/ρvg = h +p ₂ /ρ'g ・・・③ U型管中的伯努利方程

由式①②③可以得到流體流過文丘里管的速度和流量。

順便說一下，U 型管中可以放入的液體因流速測量范圍而異。隨著壓力差的增加，U 形管變長，因此通常使用高密度水銀。

2、用皮托管測量流速

皮托管是一種測量流速的測量儀器，它通過將一根玻璃管垂直連接到水平管上的一點，并將另一根玻璃管平行于流體流動。在兩點之間應用伯努利定理給出流速。

 

u₂/2g + p₁/ρg = p₂/ρg  

在點 2，流動在玻璃管的尖端被阻塞。因此，速度能轉化為壓力能，玻璃管內的水位上升到h2。另一方面，在點 1 處，管內的靜壓 p1 使水流入玻璃管，使水位升高到 h1。

因此，通過求出兩點之間的壓力差p ₂ -p _{1 ，就可以求出管道中的流速u。}

p₂-p₁ = ρg(h₂-h₁) 

u = √｛2g(h₂-h₁)｝