通信系統(tǒng)都有發(fā)送機(jī)和接收機(jī)，為了提高系統(tǒng)的可靠性，通常在接收機(jī)的輸入端接有一個(gè)帶通濾波器，信道內(nèi)的噪聲構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，經(jīng)過(guò)該帶通濾波器之后，則變成了窄帶隨機(jī)過(guò)程，因此，討論窄帶隨機(jī)過(guò)程的規(guī)律是重要的。
　　一、窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義
　　窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義借助于它的功率譜密度的圖形來(lái)說(shuō)明。圖3.5.1（a）中，波形的中心頻率為，帶寬為，當(dāng)滿足時(shí)，就可認(rèn)為滿足窄帶條件。
　　若隨機(jī)過(guò)程的功率譜滿足該條件則稱為窄帶隨機(jī)過(guò)程。
　　若帶通濾波器的傳輸函數(shù)滿足該條件則稱為窄帶濾波器。
　　隨機(jī)過(guò)程通過(guò)窄帶濾波器之后變成窄帶隨機(jī)過(guò)程。 圖3.5.1窄帶波形的頻譜及示意波形

 　　二、窄帶隨機(jī)過(guò)程的表示方式
　　如果在示波器上觀察這個(gè)過(guò)程中一個(gè)樣本函數(shù)的波形，則會(huì)發(fā)現(xiàn)它像一個(gè)包絡(luò)和相位緩慢變化的正弦波，如圖3.5.1（b）所示。因此窄帶隨機(jī)過(guò)程可用下式表示成： 　　式中，是窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)；
　　是窄帶隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)相位。
　　窄帶隨機(jī)過(guò)程也可用下式表示 　　其中: 　　這里的和分別被稱作的同相分量和正交分量。
　　可見(jiàn)，的統(tǒng)計(jì)特性可以由、或、的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)確定。反之，若已知的統(tǒng)計(jì)特性，怎樣來(lái)求 、或、的特性呢？
　　三、同相分量與正交分量的統(tǒng)計(jì)特性
　　設(shè)窄帶隨機(jī)過(guò)程是均值為零平穩(wěn)的窄帶高斯過(guò)程。可以證明，它的同相分量和正交分量也是均值為零的平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且與具有相同的方差。
　　1.數(shù)學(xué)期望 　　已設(shè)是平穩(wěn)的，且均值為零，即對(duì)于任意時(shí)刻，有，所以，可得 　　即 　　2.自相關(guān)函數(shù)
　　我們知道一些統(tǒng)計(jì)特性可以從自相關(guān)函數(shù)中得到，所以，按定義的自相關(guān)函數(shù)為 　　將上式展開(kāi)，并取數(shù)學(xué)期望為 　　其中 　　因?yàn)?IMG src="/jichu/UploadFiles_6678/201906/20190601105851607.jpg" width=29 height=17>是平穩(wěn)的，可以令，得 （1） 　　同理，令，得 （2） 　　如果是平穩(wěn)的，則、也是平穩(wěn)的。
　　由于式（1）和式（2）相等，則應(yīng)有 　　可見(jiàn)，的同相分量和正交分量具有相同的自相關(guān)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，有 　　可見(jiàn)，有 　　上式表示，為的奇函數(shù)，所以 　　同理可以證明 　　得到 　　即 　　這表明，和具有相同的方差。
　　3.概率密度函數(shù) 　　因?yàn)?IMG src="/jichu/UploadFiles_6678/201906/20190601105853765.jpg" width=17 height=17>和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則和的二維概率密度函數(shù)為 　　利用式（3.5.16），上式改寫(xiě)為 　　以上討論的是由的統(tǒng)計(jì)特性推導(dǎo)出同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性。
　　四、包絡(luò)與相位的統(tǒng)計(jì)特性
　　現(xiàn)在來(lái)確定窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性，隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位可表示為 　　利用概率論中隨機(jī)變量變換的關(guān)系來(lái)求解和的概率密度函數(shù)，把，，和在某一時(shí)刻的隨機(jī)變量用，，和來(lái)表示。根據(jù)隨機(jī)變量變換關(guān)系有 　　其中，為，的聯(lián)合概率密度函數(shù)；
　　為雅可比行列式，它等于 　　由和得 　　進(jìn)行偏微分，并代入雅可比行列式，得 　　于是 　　因?yàn)?IMG src="/jichu/UploadFiles_6678/201906/20190601105854512.jpg" width=62 height=20>，所以上式中包絡(luò)，而在內(nèi)取值。
　　利用概率論中的邊際分布知識(shí)，可求得包絡(luò)的概率密度函數(shù)為 　　可見(jiàn)，服從瑞利分布。
　　瑞利分布的特點(diǎn)：最大值發(fā)生在處，其值為。 圖3.5.2 窄帶高斯過(guò)程包絡(luò)的概率密度函數(shù) 　　利用邊際分布知識(shí)，可求得相位的概率密度函數(shù)為 　　可見(jiàn)，隨機(jī)相位在內(nèi)服從均勻分布。 　　所以窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程的包絡(luò)和相位是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。
　　五、窄帶隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度
　　結(jié)論：窄帶隨機(jī)過(guò)程同相分量和正交分量具有相同的功率譜密度，而且與窄帶隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度具有如下關(guān)系式 　　式中，設(shè)的頻率范圍,
　　證明：窄帶隨機(jī)過(guò)程的同相分量和正交分量的提取方法如圖3.5.4所示。 圖3.5.4 同相分量和正交分量的提取方法 　　1.同相分量
　　對(duì)式兩邊乘以，得 　　兩邊都通過(guò)截止頻率為的低通濾波器，于是輸出為，表示為 　　其功率譜密度為 　　1.同相分量
　　同理，對(duì)式兩邊乘以，得 　　用功率譜密度表示為 　　由以上關(guān)系式，可畫(huà)出功率譜密度、和如圖3.5.3所示。 圖3.5.3、和的功率譜密度