世界上第一臺計(jì)算機(jī)

認(rèn)真讀了之前一篇科普文章的讀者會問：“為什么計(jì)算機(jī)的CPU主要由邏輯門組成？”恭喜你，這說明你不僅“學(xué)”而且“思”了。邏輯門可以搭建邏輯電路，完成推理和判斷。但計(jì)算機(jī)更重要的能力還是計(jì)算。如果邏輯門不能完成計(jì)算，其作用就有限了。那么邏輯門能完成計(jì)算嗎？

從三角函數(shù)到微積分的所有計(jì)算，歸根到底都可以分解為“加、減、乘、除”計(jì)算，而它們又可以歸結(jié)為“加法”計(jì)算。因?yàn)闇p法等于加上負(fù)數(shù)，乘法等于多次加法，除法等于多次減法。因此，只要邏輯門可以構(gòu)成“加法器”，理論上就可以完成所有計(jì)算。

邏輯門構(gòu)成加法器的關(guān)鍵，就是大名鼎鼎的二進(jìn)制。早在1679年，偉大的數(shù)學(xué)家萊布尼茲就發(fā)明了二進(jìn)制。就憑這一項(xiàng)發(fā)明，萊布尼茲對科學(xué)的貢獻(xiàn)度就應(yīng)該不在牛頓之下。

我們?nèi)粘Ｊ煜さ氖M(jìn)制有九個(gè)符號：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，逢10進(jìn)1。二進(jìn)制只有兩個(gè)符號：0、1，逢2進(jìn)1。圖1是二進(jìn)制與十進(jìn)制對照表。

圖1 二進(jìn)制

從圖中可以看出，只要記住逢2進(jìn)1，二進(jìn)制的加法計(jì)算與我們熟悉的十進(jìn)制是相同的，而且更加簡潔。采用一些簡單的數(shù)學(xué)技巧，二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)可以相互換算。

圖2是4位二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算：

圖2 二進(jìn)制加法運(yùn)算

從圖2可以分解出二進(jìn)制加法的2個(gè)環(huán)節(jié)：

相加不進(jìn)位

相加進(jìn)位

圖3 二進(jìn)制相加分解

圖中右下角就是記0進(jìn)1的意思。

從圖3可以看出，進(jìn)位與不進(jìn)位輸出正好是2種邏輯門，如圖4所示：

圖4 與二進(jìn)制等價(jià)的2種邏輯門

圖中的進(jìn)位輸出恰好就是與（AND）門。而不進(jìn)位輸出可以用圖5的被稱為“異或門”的邏輯門構(gòu)成：

圖5 不進(jìn)位輸出邏輯門：異或門

用或門、與非門、與門構(gòu)成圖5左下角的邏輯電路，稱為異或（XOR）門。有興趣的讀者不妨用A=0 ，A=1，B=0，B=1輸入邏輯門，仔細(xì)運(yùn)算驗(yàn)證，其輸入輸出關(guān)系恰好就是二進(jìn)制加法的不進(jìn)位輸出。

現(xiàn)在我們可以用邏輯門來完成圖二進(jìn)制加法，如圖6。

圖6 半加器、全加器

任意多少位的二進(jìn)制加法器都可以用圖6所示的半加器、全加器構(gòu)成，如圖7。

圖7 用半加器、全加器構(gòu)成的加法器

圖7是加法器的原理示意圖，將其輸入輸出重新排列，就可以得到通常的加法器原理圖，如圖8所示。

圖8 8位加法器原理圖

用2個(gè)8位加法器串聯(lián)就可以構(gòu)成16位加法器。至此，我們就清楚了邏輯門構(gòu)成加法器的原理，從而也就理解了邏輯門完成計(jì)算的基本原理。但是請讀者們務(wù)必注意，以上的描述只是邏輯門完成計(jì)算的基本原理，實(shí)際過程要復(fù)雜許多。